自賠責保険の名義

自賠責保険についての質問です。先日、個人売買で車検残りのバイクを入手しました。車検証上の所有者は変更したのですが、自賠責の名義はそのままになっているのに気づきました。この状態で運転しても問題ないのでしょうか?問題ないのであれば、わざわざ保険会社に出向いたり前契約者の印鑑等必要だったりするなら面倒ですし、次の継続車検でもろもろ手続きをするときまでそのままにしておこうかと思っています。ただ、車検証は自分の名義なのに、自賠責だけ他人の名前・住所なのは何か違和感があるしどうなのかなと心配になりました。いわずもがな任意保険は加入しているので何かあった時の被害者救済は問題ありません。何かあった時に車検証の名義と自賠責証書の名義が一致していない場合なにか問題があるのでしょうか?