どちらで申告したら良いか悩んでいます。

質問内容を一通り確認させていただき、今回の質問者様の場合、所得税の確定申告をする必要はありませんが、住民税の申告は行う必要があります。

この時、仮に、住民税の申告を行った場合、確実に副業が発覚しないとは言い切れないものの、あえて、住民税を特別徴収にすることで、普通徴収よりも「発覚しにくくなるではないか」と感じています。

まず、質問内容より、質問者様が懸念されておりますように、普通徴収を選択することで住民税の通知書が会社に行かなくなってしまうことが原因で、副業が発覚する可能性はあると思われます。

仮に、回答者が質問者様の会社で給与事務の担当者であった場合、なぜ、質問者様の通知書がないのか？もしかしたら、役所の方で不備があって通知書を入れ忘れたのかなどが気になり、一度、確認の電話（問い合わせ）をすると思います。

その際、役所からの説明によっては、質問者様が副業をしていると感じることがあるかもしれません。

一方、副業収入が20万円以下ということから、こちらの収入を加味した住民税額はさほど大きな変化が見られないと推測されます。

そのため、給与計算で住民税を給与から天引きする際、目を引くような金額になるとは考えにくく、かえって副業が発覚することはないのではないかと感じています。

あくまでも回答者個人の主観となるのですが、市区町村から送付された住民税決定通知に基づいて給与計算ソフトのフォームへ住民税を天引きする金額を打ち込んでしまうことを考慮すると、普段とさほど変わらない金額に違和感を持つことはないのではないかと思います。



副業収入で源泉徴収をされている場合は還付が受けられる場合もある



副業収入で得た給与から所得税が源泉徴収されている場合は、所得税の確定申告をすることで所得税の還付を受けられる場合があります。

仮に、所得税の確定申告をしますと、別途、住民税の申告をする必要はなく、かつ、住民税の納付方法を普通徴収か特別徴収かご自身で選択をすることができます。

今回の回答を参考に、どちらにするか再検討されてみることをおすすめします。



無申告だけは避けるようにしましょう



今回の質問において、無申告でそのままほったらかしますと、場合によっては、何かのきっかけで市区町村の税務課などから勤務先へ問い合わせが来る可能性も否めません。

このようなことがありますと、副業していることが発覚してしまうことになるため、無申告だけは避けるようにしておきたいものです。

なお、質問の最後に「確定申告の場合は副収入のみでの申告で大丈夫か」とありますが、本業で勤務先から交付を受けた源泉徴収票と副業の勤務先から交付を受けた源泉徴収票のいずれも必要です。（2ヶ所からの各種金額を合算して計算することになります）

最後に、今回の質問に対する回答は、給与計算実務などを実際に行ってきた回答者個人の主観も混じっているため、別の人の意見も参考に、ご自身にとって最も望ましいと思われる選択をしていただければと思っています。