転職するか悩んでいます。

こんにちは。ご質問ありがとうございます。
私たちファイナンシャルプランナーは、弁護士資格を持っていない限りは、法律に関する個別具体的な判断を伴う回答はいたしかねます。
そのため、これからお話しさせていただくことは、一般論としてとらえてください。

1．解雇の要件について

会社が従業員をクビにする＝解雇をするには、以下の3つの方法のいずれかによります。

・普通解雇：労働基準法と労働契約法に基づいて解雇をする方法。解雇理由には客観的合理性と社会通念上の相当性が必要。
・懲戒解雇：社内の秩序を著しく乱した労働者に対して、ペナルティとして行われる解雇のこと。
・整理解雇：会社の事業継続を図るために従業員を解雇する方法（リストラ）。

このうち、懲戒解雇に関しては、最も条件が厳しくなっています。

・業務上地位を利用した犯罪行為
・会社の名誉を著しく害する重大な犯罪行為
・重大な経歴詐称
・長期間の無断欠勤
・重大なセクシャルハラスメント、パワーハラスメント
・減給などの懲戒処分を受けても同様の行為を繰り返す

に当てはまらないといけないため、不倫といっても「お互いの家族に発覚して口論になり、最終的に刀傷沙汰になった」ほどのことが起きないと、実際には懲戒解雇にはできない可能性が高いです。

また、普通解雇に関しても、客観的合理性・社会的相当性のある理由が必要になります。
不倫は確かに倫理上問題がある行為ではあるものの、犯罪行為とは言えません。
そのため、不倫したからという理由だけで解雇した場合、不当解雇として逆に事業主（今回の場合は園長）が訴えられる可能性が出ています。

2．尾行について

誰かを尾行し、証拠をつかもうとするのは、探偵業法に基づき各都道府県の公安委員会に届出を出した探偵業にしかできません。
探偵業を営んでいるわけでもないのに、誰かを尾行することは、つきまといや待ち伏せ行為としてみなされる可能性が高いです。
各都道府県の迷惑行為防止条例違反となり、警察に通報されるおそれがあるので、おすすめできません。

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いただいた質問だけでは細かい部分がわからない上に、個別具体的な判断もできないのですが「そんな簡単なもんじゃない」ということはご理解いただければと思います。

働きやすい環境だからこそ、できれば辞めないで働き続けたい、という質問者様のお気持ちもわかるので、他の同僚の皆様とも話し合い、どうするのかを決める参考にしていただければ幸いです。