生命保険に関する扱いと国民健康保険について

質問者様がお知りになりたいのは

・民間の生命保険・医療保険でがんになった場合にちゃんと保障されるのか？
・公的な健康保険について

この2点だと思うのですが、それぞれについてご説明させていただきます。

まず、がんになった場合の保障なのですが、生命保険というのは被保険者の方がお亡くなりになった時もしくは、「高度障害状態」になった時です。「高度障害状態」というのは、両目の視力を完全に失ったとか、言語またはそしゃくの機能を全く永久に失ったといったような状態のことです。
がんになった場合、この「高度障害状態」に該当する方も中にはいらっしゃいますが、今は日常生活を営みながら闘病を続ける方が大多数です。

医療保険というのは、基本的には入院と手術・放射線治療に対して保障が出るようになっています。20年くらい前までは手術してがんの部位を摘出し長期にわたる入院生活が続くというのが普通だったのですが、今は医療が進歩しているので、入院日数は短期化しており（長期入院する場合もあります）、手術についても内視鏡手術やロボット手術などにより身体への影響が少なくなっています。
一方で化学療法（抗がん剤）によりがん細胞を小さくしたり転移を防ぐような治療が主流になりつつあり、抗がん剤を処方することで通院と在宅療養により治療が長期化しています。そのような場合にも特約でがんに対する保障を付加している医療保険も中にはありますが、あくまでも基本的には入院と手術に対する保障です。今加入されている医療保険の内容を確認し、がんに備えたいのであれば、別にがん保険に入ったほうがいいと思います。最新のがん保険であれば抗がん剤の費用などについても金銭的負担をカバーする保障がついています。

あと公的な質問者様は公的な健康保険の扶養がお父様からお母様に移ったとの事ですが、そもそも国民健康保険には扶養という考え方はありません。あくまでも被保険者の数に応じて保険料が決まります。

健康保険には自営業者などが加入する「国民健康保険」と、会社員や公務員が加入する「被用者保険（会社の健康保険組合や協会けんぽなど）」があり、家族を扶養に入れられるのは後者のほうです。おそらく、お父様の収入の関係で今までお父様の扶養に入っていたのを、収入に変化があり（お母様のほうが収入が多くなった、など）お母様の扶養に入るようになったのではないでしょうか？　家族全体で見た保険料の負担を下げるために今回変更したのだと思いますし、被用者保険であれば保障内容は基本的に同じです。