子供の保険について、入っていた方がいいものは?

現在妊娠中で専業主婦をしております。
現在主人の保険や私の保険合わせて、4万円ほどを保険費用として家計から捻出しております。
最近になって家計に占める保険料の割合が少し高いのではないかと感じるようになりました。
またそろそろ子供の保険も考えた方がいいかと思うのですが、入るとしたら何歳ぐらいからどのような保険に入るのがいいのでしょうか?
若いうちから入った方が、保険料も安いと分かっているのですが、損害保険や入院保険に入るのはまだ早いような気がしています。
実際に子供が何歳ぐらいの時にどのような保険に入ればいいかを、具体的に教えて頂きたいと思います。
子供の学費については、親が被保険者となる死亡保険に加入しておりましてそちらを当てようと思っています。
アドバイスよろしくお願い致します。