おすすめの車の持ち方は？

私も以前浦和に住んでいて、質問者様と同じくらいの頻度でしか車を使わず、結局手放しましたが、別に不便に感じることはありませんでした。車というのは持っているだけでお金がかかるしメンテナンスも必要なのです。
ただ、カーリースやサブスク（両方ともほぼ同じです）というのは「月1万円」のようなわかりやすい費用負担ではありますが、得かというとそうとは限りません。大体はボーナス月に多めに支払が発生しますし、支払期間も7年とか長めです。中途解約は原則できません。利用期間が満了したら返却になりますが、車の状態が悪ければ追加費用を請求されることもあります。ただ、走行距離が凄く長い訳ではないけど自分の好きな車の新車に乗り続けたいという人には向いているのではないかと思います。

質問者様の利用形態ですと、経済面だけ見ればカーシェアが向いているのではないかと思います。例えば、基本料金220円/15分のカーシェアサービス（利用時間ごとに料金が違う）を使ったとして計算してみます。（ガソリン代が別途かかります）

①週末のスーパーへの買い出しで週1回程度乗るか乗らないか　
2時間ｘ年40回＝220ｘ4ｘ2ｘ40＝　70,400円

②年に2回くらいの近場の旅行
2日（48時間）ｘ2回＝9,900円/48時間ｘ2＝19,800円

③急な子供の発熱やケガの時の通院
2時間ｘ年5回程度？＝220ｘ4ｘ2ｘ5＝8,800円

④季節ごとの隣接する県への帰省
2日（48時間）ｘ4回＝9,900円/48時間ｘ4＝39,600円

①～④合計　138,600円

質問者様の用途でも、だいたい月1万円少々ですみます。車のサブスクでこれくらいの金額で使えるのは軽自動車クラスです。家族でのお出かけに使うのは厳しいと思います。
カーシェアであれば、家族でのお出かけの時にはワンランク上の車種を選ぶということもできます。

また、急なお子さんの発熱などの場合にはタクシーを使うという手もあります。

お子さんが小学生くらいまでの間は家族でちょくちょく旅行に出かけるかもしれませんが、中学になるとかなり減ります。今よりかなり頻度が減ります。

買い物も量が多いときには宅配してくれるサービスもあります。

経済的な面だけを考えるのであれば、色々なサービスを組み合わせてみるのが良いのではないかと思います。