主人の義母がお金の無心をしてきます

ご質問の件について、質問者様やご主人が義母（ご主人からすれば母親）に対してお金を払う必要はありません。

なぜならば、そもそもお金を借入した事実はないほか、質問者様がおっしゃっている通り「学費をだすのは親として当たり前の務め」だからです。

また、質問者様は「（義母は）仕事もしてないし、貯蓄もあまりない為将来不安なんだと思います」と感じておりますように、回答者も質問内容全体を見たとき、同じことを率直に感じました。

つまり、お金が無くて生活が苦しいから「金をたかっている」だけに過ぎないと思っています。

何よりも疑問に感じていることは、離婚して一人暮らしをしている義母が、なぜ、義父の年金を握っているのか？ということです。（普通に考えるとおかしい）

ご主人（子）が介護施設に入居している父親のお金の管理をするのであれば意味がわかるのですが、離婚した前妻がお金を握っているのは普通に考えるとおかしいですよね？

揉めるのを避けたい気持ちは十分理解できるものの、この辺の問題も合わせて解決されるべきだと思いますし、場合によっては、法律の専門家である弁護士へ一度、相談してみるのも良いと思います。

最後に、ご主人の父親が入居している介護施設というのは、具体的にどのようなものなのかを精査・確認する必要があると前置きしますが、「義父は介護施設に入所していて、毎月諸費用はうちが出しています」とあることから、ご主人は、父親を扶養控除の対象にしたり、介護施設の費用を医療費控除の対象医療費として加算できる場合があります。

つまり、質問者様世帯にとって、節税対策を図れる可能性があることを意味するため、毎年に渡って多くの所得税や住民税を負担している場合は、これらの控除が適用できないか？税理士や税務に詳しいＦＰなどの専門家を通じて確認されておくことを強くおすすめします。