副業禁止の会社勤めで副収入を得るには？

ご質問ありがとうございます。
埼玉県のブレイン・トータル・プランナーの舘野です。
年収350万円から10％ダウンするという事は、生活費の減額に直結しますので、ご苦労は十分に理解できるつもりです。
まず、副業禁止の件ですが、働き方改革に伴い、政府が副業や兼業の解禁を奨励しているのでご存じだと思われます。それに伴い企業側も、社員の仕事に対する質の向上や、個人のスキルアップが図られることから解禁する動きが活発化しています（公務員は別です）。従いまして、本当に副業が禁止されているのかを再確認なされてみて下さい。雇用契約書や就業規則で決められているのであれば致しかたないですが、単に職場の慣習であれば、副業を行ったとしても懲戒の理由とはなりません。
反対に規則等で禁止されているのであれば、勤務先に判明した場合には懲戒を受ける事は当然だとお考え願います。
実は、副業禁止のお勤め先に知れないように、副業をしたいというご質問は多々ございます。あくまでも、公的な機関を通じて、勤務先に情報提示がない事によるアドバイスですから、全く情報が入らない事を保証するものではありませんから、最終結果につきましてはご個人の責任でご対応願います。
ご勤務先に副業での収入が通知されますのは、自治体からの依頼による住民税の源泉徴収依頼です。
これを「特別徴収」と呼びますが、本来は納税者が自ら納める事が原則でありこれを「普通徴収」と呼んでいます。つまり、副業によって年間収入が20万円を超えた場合には、所得税の確定申告が必要であり、給与収入と合算された所得で所得税を計算して納税します。当然に税務署から自治体へ通知がされますから、自治体は住民税の源泉徴収を企業に依頼しますので、その時の収入が企業に知れることで副業が判明することとなります。従いまして、増加した分の住民税を普通徴収で納めてしまえば企業には増額された所得は通知されません。つまり、給与と副業の住民税を別に支払う手続をしておくことで所得が知れる心配はないという事です。
但し、各自治体によっては副業が給与収入の場合には、普通徴収を認めていないところもありますから注意が必要です。従いまして、給与として副業収入を得ることは、原則として副業が勤務先に知れる可能性が高いと思われます。