仕事量が多すぎる気がします

たった1人で常駐しておられますので、確かに会社を代表する立場でいらっしゃるわけではありますが、そもそも会社間の業務委託契約です。個人的に強気に出ていきたいお気持ちはわからないでもありませんが、まずは現状を上司に報告・相談し、指示を仰いでください。
本当に「きちんとした契約」が結ばれていないのであれば、改善できる余地があるのかもしれません。常駐先の大手企業がその優越的立場を利用し、ご相談者さまを「安く使える人材」とみて過大な要求を行い、ご相談者さまの会社を「いいように」使っているのが事実であれば、許されることではないでしょう。
ただし、物は考えようです。
普通、誰もが大手企業で働く経験ができるわけではありません。一般的には、大きな企業であれば仕事の進め方もある程度確立しており、そこで働く人たちの仕事における能力も一定の高い水準であるはずです（もちろん学歴や仕事能力などが人格を決めるわけではありません）。私自身が20代のころは大手企業に勤務し、今は社員数名程度の零細企業を経営している立場であるだけに、そのこと自体は間違いないでしょう。
そう考えれば、まだお若いご相談者さまにとって、大手企業のお仕事内容を間近で学べるまたとないチャンスだと捉えることもできます。もちろん知り得た情報を漏らしてはいけませんが、普通に生活していては知ることのできない内部情報に堂々と触れることができるかもしれません。よいことばかりではなく、反面教師にする上でも貴重な体験です。
今のお仕事を、単に給料を得るためのできれば避けて通りたい苦役だと考えると、不満が募るばかりとなっていきます。
しかし、学校では決して学べないような勉強ができて、なおかつ給料まで受け取れる貴重な成長機会と捉えれば、今のお仕事が楽しくなっていくかもしれません。
そのような前向きな態度でお仕事に取り組まれていると、必ず周りにも伝播していきますから、もしかするとより大きな仕事が得られて委託料も増えるかもしれませんし、何よりもご相談者さまの人生において好循環が生まれるでしょう。
もちろん仕事がすべてではありませんが、仕事を通じて学べることが多いのもまた事実です。好きなだけ仕事に打ち込める時期は、独身でいらっしゃる今しかありません。
繰り返しますが、あくまでもご質問内容をふまえて考えることができる一つの見方をお示ししたまでです。決して、無償での無理な労働や大手企業による違法行為を肯定するものではありませんので、申し添えておきます。