体調を崩して仕事を辞めました。フリーターになったら税金はどうなるの？

ご質問の件について、傷病手当金は、支給開始日から最長で1年6ヶ月の間が支給される期間となっています。

そのため、質問者様が現在の勤務先を仮に退職したとし、その後、再就職ができる、できないに関わらず、支給開始日から1年6ヶ月を超えた後に傷病手当金が支給されることはありません。

参考：全国健康保険協会　病気やケガで会社を休んだとき（傷病手当金）支給される期間
https://www.kyoukaikenpo.or.jp/g3/sb3040/r139/

なお、フリーターであったとしても収入が多ければ税金はかかることになりますが、いわゆるアルバイト・パートで給与をもらい、1月1日から12月31日までの1年間で年収103万円以下の場合、税金を納める必要はありません。

ただし、住民税の計算および課税の仕組上、質問者様が退職をした年にそれなりの収入があった場合、フリーターまたは無職の状態で住民税を納めなければならない場合がありますので注意が必要です。（退職をする場合、住民税の納税資金を寄せておくことが望ましい）

ちなみに、退職をすることによって、今後は社会保険から外れ、国民健康保険および国民年金をご自身で納めていくことになりますが、仮に、両親と生活を共にしており、かつ、両親のいずれかが社会保険に加入している場合、健康保険の被扶養者になれる可能性は大いにあるでしょう。

最後に、質問内容のみでは、質問者様が置かれている全体像が見えず、最適な回答をすることはできておりませんが、その他、税金などをはじめとしてお金に直接関係することをＦＰは、色々とお伝えすることができます。

ファイナンシャルプランニングにおいて、大きなライフイベントの発生はお金のことを見直す時期にふさわしく、質問者様は、「退職」という大きなライフイベントが発生する可能性があることを確認しております。

そのため、この機会に信頼できるＦＰを探し、今後について色々とご相談されてみることで確かな安心を得られるのではないかと考えます。