退職後の住民税が払えなくて困っています。どうしたらいいでしょうか？

ご質問の件について、はじめに、役所の人がおっしゃっているように、収入が無いからといって納めるべき住民税を納めないといったことはできません。

ただし、納めるべき住民税をこれまでの特別徴収（給料から天引き）のように、納付書を用いて細かく分割して納付することは可能であるため、改めて役所にある住民税の担当部署へ行って、普通徴収ではなく特別徴収のような形で納付できないものかご相談ください。

これによって、まとまったお金を用意して住民税を納めなければならないといったことは避けられ、少ない金額でコツコツ住民税を納付することが可能になります。

なお、回答者個人として気になった点をいくつか記載させていただきます。

1つ目として、退職金は支給されなかったのかが気になっています。

退職金が支給されているとするならば、その退職金から住民税の納付ができるのではないかと思っているからです。

2つ目は、親族などから一時的なお金の借入や援助はできないものかが気になっています。

事情が事情であるだけに、金額にもよるものの、多少の協力をしてもらえることはあるのではないかと思っているからです。

3つ目は、傷病手当金の支給を受けていないのかが気になっています。

質問者様は、病気のために退職したとあることから、たとえば、病気療養中で会社を休んでいた場合、申請（請求）が必要になりますが、支給要件を満たしていることで傷病手当金を受けることができます。

仮に、精神的な病気であった場合で支給要件を満たしているのであれば、こちらも申請（請求）が必要になりますが、障害年金を受けることができる可能性もあるでしょう。

要は、社会保障によってもらえるお金を、制度等を知らないためにもらっていないのではないか？といった点が気になっています。

今回の回答内容と、回答者個人が気になっている点を再確認することで、質問者様が現在抱えているお金の不安について解決できるきっかけになるのではないかと感じています。