亡くなった父親が滞納していた住民税の扱いは？

ご質問ありがとうございます。
埼玉県のブレイン・トータル・プランナーの舘野です。
相続人は被相続人（亡くなられた人）が未払いしていた債務を支払う義務が発生します。つまりプラスの資産とマイナの資産をトータルで相続することとなります。従って、未払い住民税はマイナス資産ですから相続人となった以上支払わなければなりません。
尚、住民税の時効は納期から5年間ですが、数年も滞納している場合は延滞税（年14.6％）が課せられている場合も想定されますので、支払が困難となっている可能性もあります。
住民税は各自治体（市町村）が課す地方税ですが、延滞の対応は課税課が担当しているのが一般的です。滞納している住民税は一括納付が原則です。分割納付などで猶予することは基本的に対応していません。但し、問題（延滞）を放置するわけにもいかないでしょうから、担当の自治体へ事前に連絡をして話し合いをなされるできでしょう。詳細な生活状況を確認してもらい、分割以外に支払うすべがによっては分割の依頼が全く出来ないとは考えにくいです。但し、他の返済をするために税金を後払いとすることは、税金の優先権から難しいと考えます。