投資をして貯蓄を増やしていくにはどのような方法がありますか？

現行の年金制度が継続されている間は年金が破綻することはありませんが、受給額が減ることは避けられません。そのため、自身で年金を補完する行動をとる必要があります。
個人型確定拠出年金（iDeCo）やつみたてNISAなどの制度がその手段となります。両制度は長期・積立・分散投資がベースになっています。

老後の資産形成の方法として行うべきは、まさにこの「長期・積立・分散投資」となります。
今後必要な貯蓄額はそれぞれのライフスタイルによって大きく異なるので具体的な金額は挙げられませんが、メディアでよく取り上げられた「老後2000万円問題」に基づいて仮に2000万円とします。
その場合、投資のゴールは「老後のために65歳までに2000万円を貯める」となります。iDeCoを活用した場合（会社員で企業年金等がないと仮定）、月額2万3000円の拠出ができます。運用期間を40年、年率リターンを3％とすると、約2100万円になります（手数料や税金などのコストは考慮していません）。年率リターン3％は年金の運用より低い水準なので、無理な数字はありません。
運用対象を株式投資信託にすることで更に期待利回りを上げることができます。株式と聞くと「損するかも・・・」と思う人が多いようですが、20年以上の長期間にわたって運用することで元本割れを回避する可能性が高くなります。

長期・積立・分散投資を成功させるためには、途中で止めずに続けることが重要です。

生命保険についてですが、必要な保証額を算出し必要な分だけ加入することで充分と考えます。生命保険は月額は小さくてもトータルでは不動産の次に大きな出費になります。最低は自身に万一の事があった時に周囲に迷惑をかけない金額（葬儀費用や残された家族の当面の生活費）です。