持病があると保険に入れませんか？

『健康な人と同じ値段か、そこまで料金の上がらないプランがあれば知りたいです...』
ご事情とご体況のことお察しします。
以下、回答させていただきます。(既に、ネットなどで情報収集とのことで補足的/一般的情報といたします)
【結論】
「現在の体況情報、投薬中などの文面から→“引き受け可能”ではありますが、大まかに“保険料”は割高となる可能性大です」
「保険加入の方法・選択肢としては、数社の“引き受け可能”の見込みがあります。」
但し②点、補足として
↓
(※ ご加入の意志確認と、諸手続きの“その時”の健康状態の詳細/告知によっては「現/治療;通院中のことを→不担保～一旦、割高の保険料となるが加入一定期間〇日以上の給付に該当“しない”場合→〇年後に、保険料が割引となる」...など、各社にてそれぞれの進化がみられます)

ここでは、たとえば必要性ある［保険］が“医療保険”・“生命(死亡保障)保険”と認識させていたただく上での、情報提供といたします。
『持病のために保険に入らず、別の病気で入院してお金に困る、というのは避けたいので、入れる保険があれば...』というコメントをもとに
↓　以下、一読ください
・告知項目のすべてが『いいえ』なら、申込みいただけます。(職業により、引受けを制限させていただく場合があります。)
①・最近03ヶ月以内に、医師から“入院”・“手術”・“検査”のいずれかをすすめられたことがありますか？または、現在入院中ですか？
②・最近03ヶ月以内に、がんまたは上皮内新生物・慢性肝炎・肝硬変で、医師の“診察”・“検査”・“治療”・“投薬”のいずれかをうけたことがありますか？
③・過去02年以内に、病気やケガで“入院”をしたこと、または“手術”をうけたことがありますか？
④・過去05年以内に、がんまたは上皮内新生物で、“入院”をしたこと・または“手術”をうけたことがありますか？
①～④のチェック項目は、とある保険会社の［医療保険］の告知項目です。
次に
↓
①・最近03ヶ月以内に、医師から“入院”・“手術”・“検査”のいずれかをすすめられたことがありますか？
②・過去02年以内に、病気やケガで“入院”をしたこと、または“手術”をうけたことがありますか？
③・過去05年以内に、がんまたは上皮内新生物・肝硬変・統合失調症・認知症・アルコール依存症で、医師の“診察”・“検査”・“治療”・“投薬”のいずれかをうけたことがありますか？
①～③のチェック項目は、とある保険会社の［生命(死亡保障)保険］の告知項目です。
いかがでしょうか、告知(必要な質問項目)に［糖尿病］という診断名を確認する言葉はございません。
現在、生命保険各社にて［引受基準緩和型/終身医療保険・終身保険］という商品を取扱いされています。
【注意点;留意点】(繰り返しとなりますが)
・ご加入後、一定期間(〇年など)の“削減期間”などが設定される可能性
・一般型に比較して、保険料としては“割高”となる場合あり　等を考慮。
【補足】としまして、“がん保障”・“特定疾病保障(三大疾病)”などの対策～視点を変えて“個人年金”などの貯蓄/運用を目的とするものなども各社それぞれに「告知の緩和」あるいは「告知なし」と選択できる方法がある現状です。

『病気を持っている人は、保険の見直しなどの度に値段は上がっていくのか...』
という点に関しては⇒「年齢があがる毎、見直しの際“保険料が上がる”こともあれば“保険料が下がる”こともあり得る」とお答えします。(持病をお持ちか否かも含めて)
『どういったタイミングでするのがおすすめか（治療を終了して何年経つと安くなるなど）...』
という点では⇒「明確な“正解”は無い」というのが前提ですが、「目安として」とお伝えできるのは(タイミングという言葉から)・・・「03ヶ月」「02年内」「05年内」など、「診断された“病名”などにより、違ってくる」とお答えします。

まとめとして⇒「ご加入の“可否”につきましての助言と情報提供は、いただいた文面からの断言/断定とはなりません」がご参考になさってみてください。
「不測の事態への備え」～ご心配な事の“優先順位”をご検討、じっくりと向き合いながら進めてみられることを願っております。