穏便に退職する方法を教えてください

何か後ろめたいことがあるのなら別ですが、恩があるのなら、なるべく早く、ありのまま伝えるしかないでしょう。退職をサポートしてくれるサービスなどに頼るほうが、恩を仇で返すことになるように思うのですが。
一度、上司の立場に立って考えてみてください。ご相談者さまも、お知り合いの方も、いずれは誰かの上司になるかもしれないのですから。
もし部下がこっそり転職活動をしており、突然逃げるように辞めてしまわれたときの衝撃は、いかほどでありましょう。そんな状態では、仮に転職先が良い会社であったとしても、転職に成功したとは言えないと思います。
そもそも、転職先が今と異なる業種であったとしても、勤務地が遠く離れていたとしても、世間は意外と狭いですよ。直接・間接問わず将来どこでつながるかわかりません。長年勤務されて恩があるからこそ、早めにご本人の口から直接伝えるべきではないでしょうか。
私も転職経験がありますので、辞めるときの言い出しにくさはとてもよくわかるつもりです。
正直に丁寧に伝えてもめてしまったとしても、中途半端なまま退職して元上司を嫌な気持ちにさせるよりは断然マシではないですか。
誠意をもって、できる限り早く報告することこそが、今の会社ともめることなく辞めるための最善策であるはずです。