主人の両親の介護は長男の仕事でしょうか

ご質問に記載された内容だけではお義母さまの詳しい心身状況はわかりかねますが、たとえ認知症が進行していても、お一人暮らしに限界がきているとは限りません。
ヘルパーさんや訪問看護師さん、デイサービスなどの在宅介護サービスを上手に使いながら、できる限り長く住み慣れたご自宅で暮らし続けていかれることは、十分に実現可能です。また、施設への入居費用の負担が大きくなりそうであれば、なおさらお一人暮らしを続けていける方法を模索すべきではないでしょうか。在宅生活なら身の回りのことを基本的には自分で行わなければなりませんが、施設に入られると良くも悪くも至れり尽くせりですので、認知症状の進行が速くなることも考えられます（決して施設が悪いということではありません）。
その点で、これからますますご家族の役割がこの上なく重要になっていくはずです。
にもかかわらず今の状況は、ご相談者さま以上に、担当のケアマネさんや介護サービス事業者さん、そして誰よりもお義母さまご自身が困られているご様子が目に浮かびます。
私は介護事業所を運営しているのですが、高齢になられてもより良く暮らしておられることを感じるのは、必ずしも身の回りのことを自分でできる方でも、お金に余裕がある方でもありません。ご家族がそれなりに仲が良く、たとえ遠方に離れていても密にコミュニケーションをとられており、上手に介護サービスを活用しながら、いろいろと大変なことがあっても受け入れて対応しながら何とか生活を続けておられる方です。
本当はご主人と義理のお姉さんが協力しながらお義母さまのお一人暮らしを支えていってもらいたいところですが、義理のお姉さんは、直接の介護自体も費用負担も放棄されてしまいそうとのことですね。
ご相談者さまの途方に暮れるお気持ちはお察ししたしますが、かといって義理のお姉さんご夫婦に、教育費がもうかからないからといってお金を出してほしいと考えるのは、おかしい気がいたします。義理のお姉さんご夫婦だって、今まで子どもさんの教育費がかかってきたわけですから。
義理のお姉さんご夫婦に協力を求めることができないのであれば、どうかご相談者さまご夫婦で協力しながら、義理のご両親の介護をして差し上げてください。
介護は決してネガティブなものではなく、むしろ子育てと同じように自分を成長させてくれる貴重な体験です。押し付けられて嫌々やるのではなく、ぜひ積極的に買って出てください。そうすると、認知症のお義母さまと同じ空間で過ごされても、「変な空気」は絶対に流れなくなります。認知症は、誰もがなり得るものです。ごく当たり前のことです。
ご相談者さまが義理のご両親を親身になって介護される姿は、必ずご相談者さまの子どもさんが見ていますし、それこそがお金には代えられない最高の「教育」であるはずです。ご相談者さまが認知症になられたときには、きっと子どもさんたちに、安心して介護を任せることができるでしょう。
介護は子育てと異なり終わりが見えません。これからご苦労されることはいくらでもあるかと思いますが、決して無理をなされないように、ご主人やケアマネさん、介護サービス事業者の方々と密にコミュニケーションをとりながら、より良い方法を模索してください。