シングルマザー の住宅選びについて

ご相談ありがとうございます。31歳のシングルマザーさんということですが、まだまだお若いですので、再婚されるとなるとライフプランも大きく変わりますが、とりあえずは現状での回答とさせていただきます。
まず、お子さんに残すお金とはどのような意味合いなのかわかりづらいですが、教育資金というイメージかなと推測します。現在子ども手当が支給されていると思いますが、3歳以降も15歳まで毎月1万円支給されて、140万円強くらい支給されるはずです。この子ども手当をつみたてNISAやジュニアNISAで運用しながら効率良く学費を形成されるのも良いかと思われます。

制度の詳細は、金融庁のサイトや大手証券会社等のサイトで詳しく解説されています。
毎月、定額（少額）を長期積立分散投資する投資手法です。教育資金がどうしても不足する場合、日本学生支援機構の奨学金制度や日本政策金融公庫の学費借り入れなどがありますので、お子さんが大学に行けないことはありません。
住宅資金ですが、物件価格の2割は頭金として準備するべきといわれています。その他、購入時の諸費用として、物件価格の3％～10％を現金で用意する必要があります。総額で物件価格の約30％ほどは現金で用意する必要があります。
住宅ローンの年収に占める返済比率は、年収の25％を超えないように設定するべきと考えられています。詳しくは、日本FP協会が発行している“くらしとお金のワークブック”掲載されています。“くらしとお金のワークブック”と検索していただくとヒットします。PDFでご覧になれますので、是非ご活用ください。
最後に、購入と賃貸のメリット・デメリットですが、最終的にはご家族の価値観によるものと考えます。

■持ち家
・賃貸の支払いは何も残らないが、持家は自分のものになる。
・同じ物件なら、賃貸より購入したほうが毎月の支払いは安い。
・定住感は老後が安心。
・子や孫に帰る実家を作ってあげられる。

■賃貸
・生活環境の変化に応じて、気軽に引越しができる。
・ローン（負債）を負担しない。持家は初期費用も高い。
・値下がりや地震などのリスクを負担しない。
・ずっと同じ場所に住むつもりはない。