母に万が一があった場合、支払いや遺品はどうなるのか

ご質問ありがとうございます。まず、水道、電気、固定電話などいわゆる公共料金の支払いについてですが、料金を口座振替で支払っている場合、お母さまが亡くなった後のご実家に相談者さまもしくはお姉さまがお住まいになるというなら、口座振替の支払い口座を変える手続きをしておけば引き続き使用できます。使用者の名義については各収納企業に変更手続きについて問い合わせるといいと思います。お母さまが亡くなられた後ご実家にどなたも住まないというのなら使用料の清算をしたうえで解約します。解約の手続きをせずそのまま放置すると空き家になって誰も使っていなくても基本料金がかかりますし、もし料金を払わないと督促や延滞利息が発生し、結果的に支払う金額が高くなるなどのリスクがでてきます。
また、亡くなった方の携帯電話を解約するときは、契約している会社によって必要な書類や手順がちがうので、あらかじめ確認をしてからショップなどで解約の手続きをすることになります。こちらも放置すると基本料金がかかり同様にリスクを生じます。
お母さま所有の自動車については、相続財産になるので、そのまま使用するにしても売却するにしても相続手続きが必要です。土地につきましても、所有していても借地の場合でも相続財産になりますので相続の手続きが必要になります。いずれにしてもお母さまにもしもの場合にはそのままにしておくと支障が生じることが考えられますので、お母さま亡き後のご実家をどのようになさりたいかをお母さまお姉さまと前もってご相談なさっることで不安が減ってくるのではないでしょうか。