何が公的なもので補償されるかがよくわからない。

まず、高額療養費制度というものについてご説明させていただきます。
通常、69歳までの人が窓口で支払う自己負担は実際にかかった医療費の3割ですが、例えば1月の医療費が1,000万円かかった場合に300万円必要かというとそういう訳ではなく、高額療養費制度によって月々の自己負担の上限は決まっています。

標準報酬月額＝だいたい月々のお給与の額、とお考えください。

①区分ア
（標準報酬月額83万円以上の方）
最初の3カ月間： 252,600円＋(総医療費※1－842,000円)×1％
4カ月目以降： 140,100円

②区分イ
（標準報酬月額53万円～79万円の方）
最初の3カ月間： 167,400円＋(総医療費※1－558,000円)×1％
4カ月目以降： 93,000円

③区分ウ
（標準報酬月額28万円～50万円の方）
最初の3カ月間： 80,100円＋(総医療費※1－267,000円)×1％
4カ月目以降： 44,400円

④区分エ
（標準報酬月額26万円以下の方）
最初の3カ月間： 57,600円
4カ月目以降： 44,400円

⑤区分オ（低所得者）
（被保険者が市区町村民税の非課税者等）
最初の3カ月間： 35,400円
4カ月目以降： 24,600円

実際に必要な医療費は、質問者様の月収に応じて、以上の金額がかかるものとご理解ください。
基本的にはいったん窓口で医療費の3割を支払い、後で自己負担を超過した分が戻ってくるものとお考えください。

高額療養費が適用される条件、というか適用されないものもあります。一例を挙げます。

・差額ベッド代　個室でなくても差額ベッド代を請求される場合もあります。金額は医療機関や部屋のグレードによって様々です。
・入院中の病院の食事代　1食につき460円です。
・入院中の日用品代等
・厚生労働省の定める先進医療の費用　がん治療に用いられる重粒子線治療、陽子線治療を受ける場合、2-300万円程度の費用が発生しますが、健康保険の適用外です。
・健康保険が適用されない診療費用（ 歯科治療のインプラント費用、美容整形費用など）
・正常分娩の出産費用（帝王切開の手術費などは健康保険が適用され対象となります）

こういった費用を貯金で備えておくという考え方もありますが、お金が貯まらないうちに病気・ケガをする可能性もありますし、大病を患った場合（特にがん）には貯金だけでは足りなくなることも考えられます。いくらぐらいの蓄えがあれば安心、というのは一概には言えません。
また、窓口負担が以前は1割だったのが今は3割になっているように、少子高齢化等の要因により自己負担は年々増加しており、今の若い世代の人が高齢者になるころには今よりも自己負担がかなり上がるようなことも考えられます。

そうしたことを考えますと、医療保険には入っておくべきだと思います。
どのような保障にすべきかということですが、

・入院と手術の保障：殆どの医療保険に基本メニューとして備わっています。

・先進医療：先に挙げた先進医療の費用です。月額100円程度の特約保険料で重粒子線治療、陽子線治療などの高額な先進医療の費用を全額カバーできます。

・がん治療の費用：近年医療技術が発達して、がんになった場合でも長期の入院をせず、日常生活を営みながら治療を続けるという人が増えてますが、治療期間が長期にわたって続くので、高額療養費制度の自己負担の範囲内であっても家計を圧迫します。今のがん保険には、入院や手術の費用とは別に、一時金でがん治療費が50万100万円支給されるとか、毎月治療費として5万円出るといったようなものがありますので是非加入しておきたいところです。

先に述べたように、将来医療費の自己負担が増大する可能性がありますので、年齢に応じて保険料が上がるものではなく一生涯同じ保険料で加入できる終身型の医療保険への加入をお勧めします。
若いうちに加入すると保険料が安いです。
また最近では、がん・急性心筋梗塞・脳卒中などの疾患で治療を受けた場合には以後の保険料が免除になるようなものもあります。

病気になってしまうと医療保険には加入が難しくなる場合が多いです。健康なうちに加入しておくべきですね。