家族の健康保険税について

こんにちは。ご質問ありがとうございます。
相談者様はフルタイムで働いているわけではないが、お勤め先の会社で健康保険に
加入されているとのこと。
「健康保険」には「組合健保」と「協会けんぽ」というものがあります。
相談文から推測するところ、相談者様が勤務先で加入されているのは「組合健保」で
はないかと思われます。
「組合健保」の場合、その健保独自の規定があるのかと思いますが、
相談文を読みましたところ、相談者様のご家族が扶養に入れないということは考えにくいので今一度、会社の担当者の方に何故、ご家族が扶養に入れないのかを確認していただくことが重要かと思います。
おっしゃる通り勤務時間が長くなりますと所得も増え、住民税の支払いも発生しますが、
健康保険料の保険料は年収で決まるのではなく、４月～６月の報酬で決定しますので
可能であればこの時期に残業しないなど報酬を減らすことができれば健康保険料は
安くできます。
相談者様は持病がおありとのことですので無理は禁物ですが、そのあたりも含めて働き方やご家族の扶養の件に関して会社にご相談してみられるのも方法かと思います。