扶養について知りたいです

　国民健康保険は、会社員などの健康保険（協会けんぽ、健康保険組合、共済組合）の加入者と要件を満たす家族、75歳以上等で後期高齢者医療制度の加入者および生活保護を受けている人以外の方が加入者となります。
そのため、国民健康保険では「扶養」という概念は存在しておらず、成年・未成年を問わず同居家族もそれぞれが被保険者（以下加入者）となり、国民健康保険の保険料は世帯主がまとめて支払う仕組みになっています。
そもそもお父様は、自営などが加入する国民健康保険の加入者でしょうか？
もし、会社員などが対象の健康保険（協会けんぽ、健康保険組合、共済組合）に加入しておらず、自営などで国民健康保険に加入しているのであれば、ご質問にある「母親の扶養」は無関係と思います。
ご質問者様がアルバイトで働いている場合であっても、１日または１週間の労働時間および１ヶ月の所定労働日数が、通常の労働者の分の４分の３以上働く場合には、アルバイト先の健康保険に加入することになります。
アルバイト先の年末調整で「扶養について指摘がなかった」ということから、勤め先の健康保険加入要件に該当しなかったと思います。
そのためご質問者様は、国民健康保険の加入者と推定できそうですが、これはお父様の扶養問題とは無関係だと思います。
いずれにしても、労務士から「成人していてまだ扶養に入っているのが駄目なので、母親の扶養に入って下さい」と言われたことについて、「何が駄目なのか」その意図を確認されることをお勧めします。
同時に、お持ちの健康保険証の保険者の名称を確認して国民健康保険なのか？それ以外の協会けんぽ、健康保険組合、共済組合なのか？確認しましょう。
仮に国民健康保険ではなく、会社員等が加入する健康保険であった場合には、扶養者の収入に応じて保険料を負担しますので、お父様の収入よりお母様の収入が低いことに起因して保険料負担が軽減できる可能性を指摘しているのかもしれません。
とはいえ、ご質問者様の成年・未成年とは無関係ですので解せません。
健康保険の仕組みなどについては、専門用語が多用され理解するのはなかなか困難な場合が多く、言葉の行き違いや誤解などが原因で迷路にはまり込んでしまいがちです。
何が問題で「扶養者」を変えようとしているのか？
加入している健康保険証に連絡先の記載があると思いますので、事情を説明して話を聞いてみると手掛かりがあるかもしれません。
「きちんとした返事がない」とのことですが、粘り強く「何が問題なのか」を直接関与されている社労士さんへ確認するのが良いと思います。
埒が明かないようであれば、お住まいの都道府県にある社労士会の無料相談を利用するもの方法だと思います。
いずれにしても、そう遠くない時期に学校を卒業して社会人へ巣立つことでしょう。
今後、自立しご活躍されることを期待します。