老後生活までにやらないといけないこと

まず退職金のほうからお答えさせていただきますが、退職金制度というのは会社によって有ったり無かったりします。以前は殆どの会社であったのですが、パナソニックやソニーやソフトバンクのような大企業でも退職金制度を廃止しています。（確定拠出年金制度に移行しているケースが多いようです）。退職金制度というのは一つの会社で勤めあげればかなりの定年退職の時に金額が出るのですが、途中で転職したりするとそれほどは出ません。確定拠出年金制度だと転職しても今まで積み立てた分はそのまま残るので転職者にとってもデメリットが少ないです。
ご自身の会社に退職金制度があるかどうかは、就業規則を見ればわかります。退職金制度があるのなら必ず退職金規定というものがあるはずです。
さて、ご質問者様が老後に備えてすべきことといえば、先ずはご自身の住宅を確保することだと思います。今はアパートにお住まいとの事ですが、今は人生100年時代、仮に今の家賃が7万円として、あと75年間住んだ場合には、更新料などを除いたとしても、7万円ｘ12カ月ｘ75万円＝6,300万円になります。特に老後になると家賃の負担が家計を圧迫します。逆に言えば、住宅関係のコストが0に近ければ老後の生活費はそれほどかかりません。
ペットを飼っておられるとのことですが、ペットＯＫの物件というのはそれほど多くないので、当然ながら普通の物件よりも割高になります。自分で家を持てば関係ありません。
先ずは住宅ローンの頭金を貯めて住宅購入を検討すべきではないでしょうか。今は貯金をする余裕が無いとのことですが、家計を見直せば必ず節約出来る部分はありますよ。
先ずは通信料金とか保険とか、毎月銀行の口座から引落されているものを徹底的に見直してみてください。