住民税が払えなくて困っています。

ご質問いただき、ありがとうございます。
住民税は、１年前の所得に対して当年度の税金がかかる仕組みになっております。したがって、住民税の通知書が来るのは当然なのです。ただ、住民税を一度に払う必要はなく、年４回に分けて支払うことができますし、そこで利息が付くこともありません。
しかし、それでも支払えないのでしたら、一度市区町村役場に行って、現状の説明と納税の猶予制度などが使えないかの相談をすることをお勧めします。なぜなら、支払えないからと言って放置すると、今度は延滞税などの余分な税金や利息などが付いてきて、支払額が当初以上に大きくなってしまうからです。
しかし、相談するのが恥ずかしいなどといって、相談しない人も多いのが実態です。ただ、それだと結局は自分で自分の首を絞めることになってしまいます。また、役所の人は個人情報保護を義務付けられています。勝手に相談者の情報をあちこちに話していたら、それは犯罪になってしまいます。ですから、個人情報が漏れることはほぼないと考えていいでしょう。
必ず、相談をして対策を取ってください。
なお、チコさんの住民税は、昨年分までは勤務先が徴収していたはずです。