NISAで節税になる理由がわかりません

お子様がご主人の扶養に入っていれば扶養控除という仕組みでご主人の税金が減額されます。年末調整で戻ってくる税金分に含まれています。
教育費を考えた場合これだけでは全く足らないので、まずは児童手当を教育準備金として貯蓄して下さい。通常だと総額で210万になります。私立大学４年間の平均教育費が約507万円（文科省データより）なので不足分を準備する必要があります。学資保険も良いのですが、現状では金利が低く、途中で引き出す必要があった場合積立金額合計よりも低い金額しか戻ってきません。つみたてNISAの制度を利用すると年間40万円まで積み立てることができ、積み立てた金額は所得金額より控除してもらえるのでその分所得税が低くなります。金融機関専用の口座を開設して始めることになりますが、金融期間によって口座を管理する手数料や選べる投資信託などの数に差があるので、事前に調べてどこで口座を作るか検討してみて下さい。ネット証券等が比較的低めのようです。但し、投資信託も元本を割り込むリスクがあります。
ご自身の収入についてですが、年間100万を超えると住民税が、103万を超えると所得税が課税されますが、税金がかかった場合でも手取額では増えるので気にするレベルでは無いかと思われます。一般的な例として105万円の年収となった場合、所得税と住民税合わせて10,500円程度となり、100万円を5万超えて控除される金額は10,500円なので手取りは増えていることになります。（地域で若干の差あり）
但し、気をつけなければならないのは、年間106万（会社によっては年間130万円）を超えて社会保険に加入しなければならない場合で、控除される金額が増え手取りが下がってしまいます。一例として110万円の年収で社会保険加入となった場合、税金、社会保険で年間15万以上控除されることになり、手取りは少なくなってしまします。
手取りが増えるのは年収120万を超えたあたりからになります。手取りが少なくなるので損をした気分になりますが、将来の年金は増えることになり、ケガや病気で休んだ場合の傷病手当金等健康保険上有利になる部分もあります。
現在ご主人の扶養に入っておられないということは、社会保険はご自分で負担されているのではないでしょうか。既に社会保険に加入されているのなら年間106万円以上で加入の会社なら120万以上、年間130万以上で加入の会社なら155万円以上の収入になれば手取りがプラスとなってくるのでご家庭の事情が許されるのならば、この金額を目指されるのはいかがでしょうか。