現実的にどのくらい貯蓄をしておくべきなのか知りたい

質問者様はお子さんが産まれたばかりとのことで、嬉しさと同時に不安を感じておられることと存じます。それはごく普通のことです。

お子さんが大きくなった時のために貯蓄をされたいとの事ですが、教育費ということで言えば近年「幼児教育無償化」と「高等教育無償化」により、従来に比べると親御さんの負担が少なくなってきております。ただし、いずれも所得などにより対象になる場合とならない場合がありますので、ご自身が対象になるかどうかを調べておきましょう。例えば、「私立高校授業料の実質無料化」ですが、対象になるのは年収約590万円未満の世帯となります。
ご参考：https://www.mext.go.jp/content/20200117-mxt_shuugaku01-1418201_1.pdf

また、中学も私立になる場合には授業料負担はそのまま発生します。

大学についても「高等教育の就学支援新制度」というもので、収入が少ない世帯のお子さんで成績が一定水準以上の方を対象にして給付型奨学金と国公立大学の授業料減免などの措置を受けられる場合がありますが、これも要件があります。
ご参考：https://www.jasso.go.jp/shogakukin/kyufu/index.html

一方で、お子さんが中学を出るまでの間は児童手当が出ます。（いずれも月額）
・3歳未満 一律15,000円
・3歳以上小学校修了前 10,000円（第３子以降は15,000円）
・中学生 一律10,000円
こうした制度も踏まえた上で、質問者様のお子さんが幼児教育・小・中・高・大とかかる費用を算定します。

お子さんが高校まで公立、もしくは高校が私立でも授業料負担が少なくて済む場合であれば、大学入学時の入学金と4年間の授業料を今からお子さんが18歳になるまでの間に用意していくということになります。
大学教育の費用は、国公立大学か私立大学か、私立大学ですと文系か理系かでも入学金授業料が違います。4年間でかかるこれらの費用は、
国公立大学で平均244万円
私立大学文系で平均428万円
私立大学理系で平均589万円
となります。また、自宅から離れた大学に通うことになれば下宿代などの生活費がかかることになります。

ここまで読むとお子さんのための教育資金を貯めるのは大変なことのように思えるかもしれませんが、大体のケースですと支出を削るポイントがあるものです。
特に見直すべきは、生命保険料や通信費などの「毎月自分の口座から差し引かれるお金」です。自分に合ってないプランであったり、自分には必ずしも必要でないメニューに入っている場合がかなり多いです。近年では一定額で使い放題になる「サブスクリプション」型のサービスに加入しているけど実はあまり使っていない、というケースも増えてきています。今加入している会社以外の所やファイナンシャル・プランナーに相談すれば結構見直しポイントが見つかるものです。
先ずは、自分が加入している商品・サービスを確認してみてください。