短時間のパートとフルタイムのパート、税金や保険料の違いは？

子育てしながら仕事を始めることを考えておられるのですね。ご質問に「扶養内」とありますので、ここでは150万円未満の収入の場合で回答していきます。
扶養されている妻がパートに出て給料をもらうようになると、主に次の2つの壁があります。
【その1　103万の壁】
第一の壁は、所得税を納めるかどうかのボーダーラインです。収入が103万円を超えると、超過額に対してご自身で所得税を納めます。所得税の税率は5～45％までと幅がありますが、所得税額1,949,000円までは税率5%ですので、パート勤めの方ならおおむね5%でしょう。
【その2　130万（もしくは106万の壁）】
第二は社会保険料の壁です。アルバイトやパートをして年収が「130万円以上」になると、ご自身で社会保険に加入することになります。給料の中から、厚生年金、健康保険が引かれることになるため、手取り額が減ることに。なお、「勤務先の正社員が501人以上」「所定労働時間が週20時間以上」など一定の要件を満たした場合は「106万円以上」で社会保険に加入します。
この壁を超えるとかかる社会保険料は概ね年間20万円です。そのため「年収130万円（もしくは106万円）」を超えるなら、20万円は超過するように働くかないと手取り額が増えません。
なお保育料については、国の政策で「教育無償化」が始まっています。特に3～5歳は所得にかかわらず、原則として全世帯が教育無償化の対象です。お子様の通う保育施設によって多少の差は生じますが、3歳以降は保育料の負担はそう大きくないはずです。

最後になりますが、子育てと仕事の両立がうまくいくよう祈念しております。