派遣契約では東京の住民税が高いです…

住民税は、日本全国一律の10％です。長崎でも東京でも変わりません。今年納めている住民税は昨年の収入（所得）に対してのものです。
住民税が高く感じるのは、貴方の収入額が分かりませんので推定ですが、所得税は5％なので、10％の所得税に比べて高く感じるのでしょう。
所得税は契約社員ですから、給与から源泉徴収されていると思われます。本来は、住民税も源泉徴収されるのですが、契約社員のため住民税は普通徴収と言われる本人が直接納付する形になっているのでしょう。口座引き落としは、分割可能ですから市役所等の窓口で申し込みが可能です。
所得税の5％に対して、住民税は10％になっていると思われますが、所得税は収入が多くなると10％、20％というように率が高くなりますが、住民税は10％で変わりません。
契約社員の期間は、おそらく1年毎の更新になっているのではないでしょうか。勤務先と相談して、無期の契約にして貰う交渉はできるのでしょうか。1年毎の契約の場合でも5年経過すると、会社は無期契約または正社員しなければならないことになっています。
無期の契約社員は正社員とは違いますが、生活が安定することと住民税も源泉徴収されるので納付の手間が省けます。ただし、住民税の額が減る訳ではありません。