住民税が給料から天引きされません

40代になり、子育てもおちついたので契約社員として働き始めました。私を入れて従業員が4人しかいない中小企業です。給料明細をもらうときに、うちの会社からは住民税は納められないので、自分で納めて下さいといわれました。明細書を見ると確かに住民税が天引きされていません。そのときは市役所で書類を書いて、金融機関で住民税を納めました。仕事先が変わってすぐだからというわけではなく、これからも会社から納めてくれることはないようです。今まで勤めた会社はそんなことは一度もなかったので、今の状況は変なのではないかと思います。このまま自分で住民税を納め続けるのは、手間がかかるという以外何かデメリットがあるのでしょうか?契約社員という立場もあって、会社から納めて下さいということが言い辛いのですが、自分で会社に言わない限りこのままの状態が続くのでしょうか?