シフトカットと雇用保険について

産休と育休は取得の基準が違います。産休は出産前6週間と出産後8週間で、雇用形態に関係なく取得できます。

一方育休は、原則子どもが1歳になるまでの1年間に取得できる制度で、最長2歳になるまで延長できます。ただし、出産前1年間の就労と育休終了後の復職が条件になっています。
産休・育休期間中の雇用保険料は免除になります。

また、出産に伴う給付金は、出産手当金・出産育児手当金・育児休業給付金の3種類があり、出産手当金・出産育児一時金は健康保険から、育児休業給付金は雇用保険からになります。

あなたの場合は、出産手当金は対象外、出産育児一時金は夫の健康保険の加入者として受け取り可能、育児休業給付金は今回の問題になっている雇用保険次第となります。
その上で、週20時間が、雇用保険の加入条件ですから、微妙なところです。

会社の上司や社会保険などの担当の方（総務部門）の方に確認をして頂くことが第一ではないでしょうか。
会社は雇用保険を適用外にするつもりがないかもしれませんので、確認をしてみればと思います。

その上で、あなたの事情も説明して、週4日が希望でしたらその旨伝えればいかがでしょうか。頑張ってみましょう。